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    數學思想的本質意蘊及建構策略——基于小學數學教學實踐的思考

    作者:admin 更新時間:2018年08月31日 07:43:56

      摘要:數學的靈魂是數學思想,小學數學教材中蘊含了豐富的數學思想。如今課堂中原本屬于文化范疇的數學思想,正漸漸喪失它的文化意味。在數學知識積累、數學技能訓練的同時,理解并實踐數學思想的真實意蘊,明晰小學數學教學的價值追求,建構數學課堂教學滲透數學思想的合適路徑,從而促進學生理性精神的養成,是小學數學課堂文化內涵重構的價值追求。


      關鍵詞:小學教學;數學思想;教學素養;


      作者:劉瑋


      新課程實施以來,小學數學教育經歷了并正在經歷著一場滌蕩與碰撞式的洗禮,其中有教學模式變革的是非之爭、有數學化與生活化的取向之辯等。但在數學教育這種形式熱鬧的背后,因教育評價的遲緩與踟躕,原本屬于文化范疇的數學思想在小學數學課堂教學中卻更加邊緣化了。作為數學本身的博大精深和文明智慧的象征,數學思想的缺位意味著數學本身的文化意味及價值追求在課堂教學中應有位置的旁落。我們目睹數學教學“先學后教,因學定教”等教學模式的變革,我們親聞數學教學呼喚兒童立場回歸的呼喚,我們追求“數學化”和“生活化”走向平衡的教學,我們更期待著以思想文化潤澤的數學課堂。


      一、現實拷問:在數學基本知識之外,我們給孩子的還應該有什么


      數學課程改革的一個重要方向是讓數學教學實現兩個回歸:一是讓數學教學回歸兒童,關注兒童的生活;二是讓數學教學回歸數學本身。由此可以看出,數學之于兒童不僅是一種指向結果的“經驗數學”,它還是一種著眼于數學知識獲得過程的“建構數學”[1]。因此,兒童視域中的數學就不應簡單地等同于數學知識的匯集,不應被看作無可懷疑的真理的灌輸,而應是在數學思想引領下兒童學習數學知識的一種有意義的建構。然而反思當下的小學數學課堂,除了做題與練習,我們給予兒童的還有什么?日本學者米山國藏說:“在學校學的數學知識,畢業后若沒什么機會去用,一兩年后,很快就忘掉了,然而,不管他們從事什么工作,唯有深深銘刻在心中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等,這些卻是隨時隨地發生作用,使他們終生受益。”[2]29從中可以看出,真正的數學教學蘊含著思想與方法的精髓,也關聯著人看待世界的態度與改造世界的素質。反觀我們培養的小學生,他們只會快速解答數學題,而不知此題所包含的人文精神;只會機械地使用教師教給的固定方法,而不知感悟數學思想并從中學會多元思考。著名數學家柯朗(R.Courant)曾尖銳地批評數學教育:“數學的教學逐漸流于無意義的單純演算習題的訓練。固然這可以發展形式演算能力,但卻無助于對數學的真正理解,無助于提高獨立思考能力,不幸的是,教育工作者對此應負其責。”[3]純知識的工具性的技能教育已使得當今兒童的數學學習越來越單調與封閉,他們在這種功利性的重復與應試中逐漸喪失學習的主動性和思維的靈性。也正因此,我們時常遭遇類似悖論的奇怪現象:一些數學成績非常好的學生卻很不喜歡學習數學,甚至是達到厭惡的程度。學生在學習數學過程中除了做大量的練習題以外,從未體驗過真正的“生活化”與“數學化”的過程。學生已經成了解題的工具,數學的教育功能也全然離開了學生的數學課堂,數學的工具性已把兒童與教育割裂開來。在課堂數學中,學生已經感受不到數學豐富的方法、深邃的思想以及數學家嚴謹而科學的精神,他們也就不會領略到數學文明發展進程中豁然開朗的頓悟以及由此而滋生的超越前人的心向與憧憬。而少卻了思想與文化的數學,又將以什么給兒童思維與生命的潤澤?“讓數學教學走出單純工具的窠臼,還數學教學思想與文化之本質”,這應該是一個返樸歸真的應然選擇。


      二、本質詮釋:數學思想的真實意蘊與內涵


      我們常說數學的靈魂是數學的精神和思想,那么數學的思想又是什么呢?


      史寧中教授從數學學科和教育學的角度描述了數學思想的認知標準:數學產生和發展所依賴的思想,這是標準之一;學過數學的人與沒有學過數學的人的根本差異,這是標準之二。[4]


      邵光華教授認為:“從數學教育方面來講,數學思想應被理解為更高層次的理性認識,那就是對于數學內容和方法的本質認識,是對數學內容和方法進一步的抽象和概括。”[5]


      筆者認為,數學思想是對某些具體數學認識過程中知識、方法的高度提煉和簡明概括,并在后續的認識活動中被循環證實其適用性和正確性,帶有一般意義和相對穩定的特征的東西。它呈現了數學發展中的一般規律,對數學發展起著指引方向的作用,它支配著數學的實踐活動,是數學的靈魂和核心。數學邏輯結構的一個重要和特殊要素就是數學思想,整個數學學科就是從這些思想的基礎出發,并按照這些思想衍生、豐富起來的。事實上,無論是數學概念的界定、數學規律的證明還是數學問題的解決及整個數學系統的形成,其關鍵核心都在于數學思想的確立。我們可以從以下四個方面來考慮這一關鍵點。


      (一)教育之于思想


      數學家王世強認為,數學思想有利于促進人類理性精神的形成。他說,數學教育是非常重要的。一是因為數學有廣泛應用性;二則在于數學教育中的思維訓練能促進人們養成理性的探索精神。[6]在具體的教育教學中,教師只有適時地滲透數學思想,才能引領學生觸及數學的靈魂,豐富學生的數學素養,提高學生的創新意識和實踐能力。


      (二)文化之于思想


      克萊因(F.C.Klein)認為:“數學是現代文化創生的主要力量,同時又是現代文化中重要的元素之一。”[7]數學文化的主要內涵是數學的基本知識和基本技能、基本的思想和方法,其精髓是數學思想。人們在學校學習獲得的數學知識,隨著時光的遠去多數會慢慢淡忘,而那些存留下來的對人的思維方式、價值取向起作用的東西,就是數學思想。


      (三)方法之于思想


      數學思想與數學方法之間有著千絲萬縷的聯系,但二者也有著自身的特征。首先,數學是一種尋求大家認同的公理法則的方法。這種方法包括科學地界定概念的定義以及嚴謹地陳述出作為推理基礎的公理。其次,數學也是一門蘊含創造精神和探索意識的學科。在探究未知證明的內容時與構思證明的方法時相同,數學家利用高度的直覺和想象,即思想的深度與高度。


      (四)知識之于思想


      數學思想來源于數學知識本身,又高于數學知識本身。它是對數學知識的本質認識,是從某些具體的數學內容和對數學的認識中提煉升華出的數學觀點,其正確性在其后的認識活動中被反復運用,帶有普遍適用意義,是建立數學和用數學解決問題的紐帶。數學思想與數學知識是共生的個體,不是割裂的二物。[8]沒有脫離數學知識的數學思想,也沒有拋棄數學思想的數學知識。[9]


      米山國藏曾說:“不論是科學專家、技術人員還是從事數學教學的教師,數學最高的追求是數學的精神、思想和方法,而數學知識只是次要的。”[2]27基本的數學思想可以概括為三個方面,即“符號化與變換的思想”“集合與對應的思想”和“公理化與結構的思想”。對小學而言,數學思想大致可細分為十個方面,即對應思想、符號思想、化歸思想、類比思想、分解思想、參數思想、數形結合思想、歸納思想、演繹思想和模型思想。


      三、價值追求:小學數學教學滲透數學思想的方向索引


      小學數學蘊含了豐富的數學思想,它以或明或暗的方式貫穿數學教材中。如果把數學看作一條知識的長河,數學知識就如一簇簇浪濤清楚地反映在教材上,而數學思想就像一股下隱的思潮靜水流深。明線清楚明晰,暗線若隱若現。教師只有領悟并掌握數學思想方法,明確滲透數學思想的方向與路徑,深入挖掘教材,靈活設計教法,才能在數學課上以數學思想涵泳學生的文化素質,提升數學素養。那么,在具體教學中滲透數學思想的方向是什么呢?


      (一)從割裂走向統整


      數學思想的教學不是簡單地將其從外部直接注入數學知識的過程。前文已述,數學思想總是伴隨著數學知識的發生發展,數學知識與數學思想是緊密地聯系在一起的。數學是知識與思想的有機結合,沒有不包含數學思想的數學知識,也沒有游離于數學知識之外的數學思想。每一種數學思想的呈現都有一定的概念、法則、公式等知識的承載,而每一種數學知識的掌握、數學技能的習得,也都有數學思想方法的潛在的滲透與影響。[10]教師需要建立一種整體統一的觀點,在知識教學中引領學生感悟思想,在思想體驗中反觀知識的發生發展,從而獲得統一聯系的認知結構。


      (二)從狹隘走向寬泛


      教學是面向兒童當下認知現實的選擇,也是著眼其未來成長與發展的選擇,即兒童成長的現實性與可能性。在教學中,教師應該有一種宏觀與寬深的視域,既要關注數學思想方法在學生已有經驗中生長,又要關注在知識教學過程中數學思想本身從平面走向立體的過程。例如,化歸思想的教學有具體問題向抽象問題轉化,也有抽象問題向具體問題轉化;有復雜問題向簡單問題轉化,也有未知問題向已知問題轉化;有整體向局部的轉化,也有正面向反面的轉化。從教材的編排序列來看,不僅有形到數的轉化,也有數到形的轉化,還有形與形的轉化。從學生的已有經驗來看,不僅有簡易直觀的一次轉化,也有紛繁復雜的數次轉化。


      (三)從內隱走向外鑠


      在小學數學教學中,數學思想的形成是一個漸進的過程,它總是隨著數學知識的難度加深而表現出相應的層次性。教師要有意識地讓學生經歷數學思想的孕育、形成和發展的過程。從學習者角度來看,可見性知識往往是可以用語言傳授的知識;而內隱性知識更多的是需要兒童自身的體驗,進而用自己的思維方式“再創造”的數學活動。對于內隱于數學知識教學中的數學思想教學,尤其需要教師引領學生更多地經歷數學活動,從而讓學生從生活世界走向符號化世界直至垂直數學化。這一過程也就是一個感悟、體驗、探索到應用的過程,在這個過程中數學思想不斷地從內隱的體驗感受走向外鑠的意義賦予。


      (四)從表達走向體悟


      數學知識是人類生命實踐活動智慧的結晶,是前人通過探究、比較、歸納和驗證而形成的。其中,形象化的實物漸趨成為符號化的表達,數學知識也逐漸變成了符號化的知識,[11]因為這種簡約的符號化表達,兒童的數學學習省卻了前人生命實踐活動的豐富經歷和深刻感受。真正的數學思想的獲得不是簡單地灌輸和告訴,而是學生在數學活動中不斷體驗和感悟。換言之,這種指向于過程的真切體悟,正是兒童生命成長的思想建構。


      當教師循著這個方向,數學教學就賦予了兒童生命成長意義的關懷。在知識與技能的教學中,我們就會讓學生經歷像數學家那樣發現真理的創造過程;在過程與方法的教學中,我們就會有意地讓學生積累豐富的活動經驗,從而提煉、感悟數學的思想方法;在培養學生數學情感與態度中,我們就會呈現前人探究數學知識本原的嚴謹與執著,讓學生學會用數學的眼光去觀察事物、用數學的方法去解決實際問題,讓學生的心田始終體驗著數學思想與文化的氤氳。


      四、田野踐行:小學數學教學滲透數學思想的策略選擇


      數學思想是數學知識的精髓,也是知識轉化為能力的橋梁。如何在小學數學教學中滲透數學思想,實現數學教學向兒童和數學本身的回歸呢?首先,教師要革新原有的狹隘功利的數學教學模式,樹立科學正確的數學教學觀、數學文化觀、數學價值觀。其次,教師應站在數學思想的高度,以數學知識為載體,從兒童已有的經驗和認知特點出發,遵循統整、寬泛、外鑠和內化的滲透原則,通過整體把握、過程探究和實踐應用等途徑予以適時的挖掘、提煉和滲透,從而促進學生數學知識和思想方法全面而均衡地發展。


      (一)結構化的整體設計,顯化數學思想


      作為數學文化源頭的西方,對于數學歷來有這種說法,“上帝是按照數學原則創造這個世界的。”小學數學教材的編排也體現著結構化與系統性的特點。笛卡兒曾有這樣一個問題解決的數學設想,他擬將一切問題變成數學問題,再把數學問題轉化成方程問題,從而運用問題中的已知量和未知量之間的數學關系,把生活語言轉化成代數語言。[12]這正是方程思想的基礎內涵與價值追求。但是,小學階段的學生在解應用題時通常使用算術方法,排斥方程思想。因為在用算術方法解題時,讓具體的已知數參加運算,算術的結果就是要求的未知數的解,學生習慣了從已知出發再到未知的思維方式。而在代數中用字母表示的未知數和已知數一樣,按照運算規律參與運算,可以通過移項改變自身的位置,清晰地呈現已知和未知的數量關系。隨著小學生數學學習認知心理的逐漸成熟,我們應在合適的時機滲透方程思想。只有這樣,學生的數學發展水平才能持續而深入地提高。在解答稍復雜的分數應用題、工程問題、行程問題中的追及問題、雞兔同籠等問題時,運用方程思想解答比較簡便,因為用字母x表示未知數后,數量關系更加明顯,解題思路更加清晰。在數學發展過程中,函數思想與方程思想有密切的關聯,因為方程的動態變化性,函數在一定的空間域內把變量之間的關系歸納成了集合中元素與元素的對應。數學思想是現實世界中數量關系深入研究和數學本身不斷發展的必然產物。對于變量的重要性,恩格斯在《自然辯證法》一書有關“數學”的論述中有過精辟的闡述:“數學中的偉大的分水嶺是笛卡兒發現了變數,因為變數,運動進入了數學;因為變數,辨證法進入了數學;因為變數,微分與積分也很快變得必要起來。”這樣來看,方程思想本質而辨證地反映了數量關系的變化規律,它體現著數學鮮明的結構性和整體關聯性。又如,在乘法口算練習中有如下三組題:


      8×6=40×6=300×900=80×6=40×60=30×900=800×6=40×600=3×900=


      一般情況下,教師在學生口算回答正確后也就不再追問,而有經驗的教師會讓學生先計算,后比較答案,接著讓學生觀察所填答案找出規律,思考答案變化的原因。在此基礎上,再呈現含有除法的兩組題:


      45×8=1500÷300=15×8=1500÷30=5×8=1500÷3=


      通過進一步的觀察對比分析,學生總結出“兩個數相乘或相除,當一個數變化,另一個數不變時,得數變化是有規律的”。在數學教學中,探究具體問題中變量之間關系一般用解析式來表示,這時可以把解析式理解成方程,初高中階段的正反比例函數、一次函數、二次函數、冪指對函數、三角函數等都可以通過對方程的研究去分析解決問題。小學數學教材中對比也有體現,如在分數應用題中,一個具體的數量往往對應于一個抽象的分率,只要找出數量和分率的對應,問題就會迎刃而解;在行程應用題中,物體運動的路程對應于其本身運行的速度與時間。學好這些函數是繼續深入學習數學所必需的,通過整體結構化的教學設計顯化函數思想,不但能達到解題的要求,而且打開了解題思路,豐富了解題方法。


      (二)數學化的過程參與,點化數學思想


      數學教育家斯托利亞爾研究指出:兒童的數學思維活動水平一般分為三個層次。第一層次是數學描述,即經驗材料的數學組織化,主要是兒童借助于直觀形象的觀察、嘗試錯誤、歸納和類比的方法呈現經驗材料;第二層次是數學抽象,即數學材料的邏輯組織化,主要是兒童在積累的經驗材料中抽象出本質屬性、原始概念和公理體系;第三個層次是數學理論在實踐中的應用。[13]由此看出,數學基本思想的獲得需要學生參與到數學地組織現實材料的過程,即“經驗材料化”和“數學材料邏輯化”的過程,而這種過程正是數學的本質與核心不斷被點化與顯現的過程。


      在數學概念的教學中,有些教師常常只是從告訴的角度讓學生知道幾個數學概念,這種簡單而功利的教學非常不利于學生數學思想的形成。關注學生數學思想的生長,必須讓學生充分經歷概念從生活現實走向數學現實的數學化過程。[14]在教學《圓的認識》時,筆者引導學生利用聚化思維在反復追問中,不斷去粗取精,去偽存真,從而實現數學抽象。首先,教師用圓規在黑板上示范畫一個圓,接著讓學生用圓規在練習本上也畫一個圓,再引導學生觀察比較兩者的相同點,從而使學生知道畫圓要先定點,再拉開圓規兩腳,旋轉一周成圓。其次,讓學生觀看在操場上畫一個更大的圓的兩段視頻。片斷一是體育教師以自己為中心用灰勺旋轉一周畫一個圓;片斷二是固定繩子一端,拉直繩子,旋轉一周形成一個圓。教師追問:要畫更大的圓,怎么辦?再次比較這兩種畫圓方法的共同點。最后,讓學生在頭腦中形成無形的圓。先是用一根一端系著小球的繩子甩動一周,讓學生想一想小球走過的路線是什么;其后讓學生觀察時鐘上秒針旋轉一周針尖留下的痕跡,再將這一層次的畫法與前兩個層次進行比較。在這三個層次的基礎上,聚焦分析:這三種方法都畫出了一個圓,他們有什么共同的地方?進而揭示出圓的三個要素:定點、定長、旋轉一周。就這樣,圓的非本質屬性不斷去除,本質屬性逐漸析取,學生對于圓的特征的認識越來越清晰和深刻。


      (三)應用化的問題解決,深化數學思想


      在課堂教學之外,我們還要讓學生在實踐中體察和感悟數學思想。教師要以開放的教學視野引導學生走出教室,在數學實踐活動中,豐富活動經驗,感悟數學思想。轉化是解決數學問題常用的思想方法之一,表現為在解決一個陌生的新問題或復雜問題時,要設法將其轉化為已知的舊問題或簡單的問題,即化新為舊、化繁為簡、化難為易,從而順利解決問題。在教學測量不規則物體體積時,筆者讓學生測量一個山芋的體積。山芋是一個不規則的物體,沒有可以直接使用的體積計算公式,但我們可以通過轉化使其體積等同于規則物體的體積來測量。只要把山芋放入裝有水的長方體(或圓柱體)容器里,先量一量容器的長和寬(底面半徑與高),再量出水面升高的高度,然后用升高部分的長方體(或圓柱體)體積與這個山芋的體積等同轉化,就能順利解決問題。一個初看很難的問題,通過轉化不僅促進了學生問題解決能力的提高,還深化了學生對轉化這一數學思想的認識。


      數學與數學教育有著深刻而豐富的內涵意蘊。作為工具的數學,著眼于結繩計數式的問題解決與方法應用;作為文化的數學,指向于人類精神與智慧成果的傳播與繼承;而作為教育的數學,它立足于受教育者生命的全面豐盈[15]。在小學數學教學中,我們企盼給學生活潑而靈動的數學,不應僅是數學課上單調的公式、機械的計算甚至是漫無邊際的題海;我們憧憬真切感知與理性思考交相輝映的課堂,學生經歷數學探索的歷程,沐浴數學方法、思想和精神的潤澤,體驗數學思想的理性、智慧與美。唯有此時,數學已經以思想存在的方式真正滲入了課程、到達了課堂、溶入了教學,數學教學也就會以文化的方式親近兒童,親近兒童的生活。


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